Question

【題目】如圖，正方形中， ， 與交于點(diǎn)，現(xiàn)將沿折起得到三棱錐， ， 分別是， 的中點(diǎn).

(1)求證： ；

(2)若三棱錐的最大體積為，當(dāng)三棱錐的體積為，且二面角為銳角時(shí)，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)折疊前幾何關(guān)系得， ，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，即得；（2）先確定三棱錐的取最大體積的條件：三棱錐的高為，再根據(jù)三棱錐體積公式得三棱錐的體積為時(shí)條件： 平面，最后根據(jù)等體積法求三棱錐的體積.

試題解析：(1)依題意易知， ， ，∴平面，

又∵平面，∴.

(2)當(dāng)體積最大時(shí)三棱錐的高為，當(dāng)體積為時(shí)，高為，

中， ，作于，∴，∴，

∴為等邊三角形，∴與重合，即平面，

易知.

∵平面，∴，∴，

∴.