Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面.已知，，，.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)求出的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；的長為1

【解析】

（1）的中點(diǎn)，連接，連接，連接，由面面垂直性質(zhì)可知平面；結(jié)合余弦定理、勾股定理可知，從而以，，所在直線為,，軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求出的法向量為，由可求出，從而可求出直線與平面所成角的正弦值.

（2）設(shè)線段上的點(diǎn)，且，通過可求出，由可得，從而可知即可求出的值，即可求出的長.

解：（1）取的中點(diǎn)，連接，，，且，

側(cè)面底面，且側(cè)面底面，平面，

平面，連接，在中，由余弦定理可知

，得.

由 可得，連接，可知，且.

則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為,，軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則：，，，，.

所以，.設(shè)平面的法向量為，

由，取，得；又，

.

設(shè)直線與平面所成角為，則.

直線與平面所成角的正弦值為；

（2）設(shè)線段上的點(diǎn)，且，.由，

則，解得，

則，，要使，則，

即，得，此時(shí).

故線段的中點(diǎn)滿足，此時(shí)的長為1.