Question

已知橢圓上的點(diǎn)到左右兩焦點(diǎn)的距離之和為，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若軸上一點(diǎn)滿足，求直線的斜率的值.

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）根據(jù)與離心率可求得a，b，c的值，從而就得到橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立消去y可得到關(guān)于x的一元二次方程，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與分類討論的思想進(jìn)行解決．
試題解析：（1），∴，
，∴，∴，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）已知,設(shè)直線的方程為，-，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，化簡(jiǎn)得：，
∴，，
∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
①當(dāng)時(shí)，的中垂線方程為，
∵，∴點(diǎn)在的中垂線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程得：
，即，
解得或 ．
②當(dāng)時(shí)，的中垂線方程為，滿足題意，
∴斜率的取值為.
考點(diǎn)：1、橢圓的方程及幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓的位置關(guān)系．