Question

如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，延長DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C．
（1）求證：FB=FC；
（2）求證：FB²=FA•FD；
（3）若AB是△ABC外接圓的直徑，且∠EAC=120°，BC=6，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）兩線段在同一個(gè)三角形中，故可以用證兩底角相等，通過等邊對(duì)等角來證兩邊相等；
（2）由圖形知，可以證明△FBA∽△FDB，由于角BFD是公共角，再證明角FAB與角FBD相等即可證出兩三角形相似；
（3）由題設(shè)條件可求得三角形ABC與三角形ACD的內(nèi)角，又此兩三角形都是直角三角形，故可借助直角三角形中的相關(guān)知識(shí)求AD的長．

解答：解：（1）因?yàn)椤螮AC=∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠BCF+∠ACF=∠ABC+∠BCF+∠ABF=∠BCF+∠FBC
又∠EAC=2∠FAB=2∠BCF
所以∠FCB=∠FBC，
所以FB=FC，（3分）
（2）因?yàn)樵凇鱂BA∽△FDB中，∠BFD是公共角，
由于同弦所對(duì)的圓周角相等，故∠FAB等于∠FCB，又由（1）∠FCB=∠FBC
故可得∠FBC=∠FAB
所以△FBA∽△FDB，所以

FB

FD

=

FA

FB

，整理得FB²=FA•FD（6分）
（3）∠EAC=120°，所以∠BAC=60°
因?yàn)锳B為直徑，所以∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
又∠DAC=60°，∠ACD=90°，可得∠ADC=30°
在直角三角形ABC中，由于BC=6，所以AC=2

3

在直角三角形ADC中，可得AD=4

3

（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是與圓有關(guān)的比例線段，考查圓中同弦所對(duì)的圓周角相等及切割線定理以及直角三角形中邊角的轉(zhuǎn)化，此類題對(duì)思維靈活性要求較高，需要答題者熟悉題設(shè)條件與相關(guān)圖形的結(jié)構(gòu)，然后組合出解決問題的方案，解題時(shí)注意體會(huì)本題的這一特征，此也是幾何證明題共有的特征．