Question

設(shè)a₁，a₂，…，a_n（n≥4）是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，且公差d≠0．設(shè)α（n）是將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）為等比數(shù)列的最大的n值，則α（n）=（　�。�

• A、4
• B、5
• C、6
• D、7

Answer 1

分析：先看當(dāng)n=4時(shí)，將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按照原來(lái)的順序）是等比數(shù)列．如果刪去a₁，或a₄，則等于有3個(gè)項(xiàng)既是等差又是等比．可以證明在公差不等于零的情況下不成立，進(jìn)而推斷刪去的是a₂，或a₃．如果刪去的是a₂，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入a₁：a₃=a₃：a₄，求得

a1

d

=-4．同理如果如果刪去的是a₃，求得

a1

d

=1，再看當(dāng)n=5時(shí)，由（1）知道，a₁．a(chǎn)₅不能刪．如果刪去a₂，則a₃，a₄，a₅既是等差又是等比，不成立．同樣a₄不能刪．如果刪去a₃，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和a₁：a₂=a₄：a₅，代入發(fā)現(xiàn)不成立，進(jìn)而推斷n＞5時(shí)也不成立，進(jìn)而推斷n只能是4．

解答：解：（1）當(dāng)n=4時(shí)
有a₁，a₂，a₃，a₄．
將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按照原來(lái)的順序）是等比數(shù)列．
如果刪去a₁，或a₄，則等于有3個(gè)項(xiàng)既是等差又是等比．
可以證明在公差不等于零的情況下不成立
（a-d）：a=a：（a+d）
a²=a²-d²
所以d=0
可以知道刪去的是a₂，或a₃．
如果刪去的是a₂，
a₁：a₃=a₃：a₄
a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²
3a₁d=4a₁d+4d²
4d²+a₁*d=0
4d+a₁=0

a1

d

=-4．
如果刪去的是a₃，
a₁：a₂=a₂：a₄
a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²
3a₁d=2a₁d+d²
a₁d=d²
a₁=d

a1

d

=1．
可得

a1

d

=-4或1．
（2）n=5時(shí)，由（1）知道，a₁．a(chǎn)₅不能刪．
如果刪去a₂，
則a₃，a₄，a₅既是等差又是等比，不成立．
同樣a₄不能刪．
如果刪去a₃，
a₁：a₂=a₄：a₅
a₁a₅=a₂a₄
（a₃-2d）（a₃+2d）=（a₃-d）（a₃+d）
a₃²-4d²=a₃²-d²
不成立．
所以n只能為4．
故選A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．屬中檔題．