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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=
          a
          3
          x3-
          3
          2
          x2+(a+1)x+1
          ,其中a為實(shí)數(shù).
          (1)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
          (2)已知不等式f′(x)>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
          分析:(1)求出f′(x),因為函數(shù)在x=1時取極值,得到f′(1)=0,代入求出a值即可;
          (2)把f(x)的解析式代入到不等式中,化簡得到a>
          x2+2x
          x2+2
          ,因為a>0,不等式恒成立即要
          x2+2x
          x2+2
          ≤0
          ,求出x的解集即可.
          解答:解:(1)f′(x)=ax2-3x+(a+1)
          由于函數(shù)f(x)在x=1時取得極值,
          所以f′(1)=0
          即a-3+a+1=0,∴a=1
          (2)由題設(shè)知:ax2-3x+(a+1)>x2-x-a+1
          對任意a∈(0,+∞)都成立
          即a(x2+2)-x2-2x>0
          對任意a∈(0,+∞)都成立
          于是a>
          x2+2x
          x2+2
          對任意a∈(0,+∞)都成立,
          x2+2x
          x2+2
          ≤0
          ∴-2≤x≤0
          于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}.
          點(diǎn)評:考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,掌握不等式恒成立時所取的條件.以及會求一元二次不等式的解集.做題時學(xué)生應(yīng)掌握轉(zhuǎn)化的方法變形.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x,y)=(1+
          m
          y
          )x(m>0,y>0)

          (1)當(dāng)m=3時,求f(6,y)的展開式中二項式系數(shù)最大的項;
          (2)若f(4,y)=a0+
          a1
          y
          +
          a2
          y2
          +
          a3
          y3
          +
          a4
          y4
          且a3=32,求
          4
          i=0
          ai

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          2x
          x+1
          ,且a1=
          1
          2
          ,  an+1=f(an)
          ,其中n=1,2,3,….
          (I)計算a2,a3的值;
          (II)設(shè)a2=2,求證:數(shù)列{bn}為等比數(shù)列;
          (III)求證:
          1
          2
          an<1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          2x
          x+1
          ,且a1=
          1
          2
          ,  an+1=f(an)
          ,其中n=1,2,3,….
          (I)計算a2,a3,a4的值;
          (II)猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)字歸納法加以證明.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•自貢一模)設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+
          1+x2
          )

          (Ⅰ) 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
          (Ⅱ)若x≥0時,恒有f(x)≤ax3,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (Ⅲ)令an=
          1
          9
          (
          1
          2
          )6n+ln[(
          1
          2
          )
          2n
          +
          1+(
          1
          2
          )
          4n
          ](n∈N*)
          ,試證明:a1+a2+a3+…+an
          1
          3

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          x-1
          x
          log2(x-1)-log2x
          (x>1).
          (I)求函數(shù)f(x)的最小值;
          (Ⅱ)若m,t∈R+,且
          1
          m
          +
          1
          t
          =1
          ,求證:tlo
          g
           
          2
          m+mlo
          g
           
          2
          t≤mt
          ;
          (Ⅲ)若a1,a2a3,…,a2nR+,且
          1
          a1
          +
          1
          a2
          +
          1
          a3
          +…+
          1
          a2n
          =1
          ,求證:
          lo
          g
           
          2
          a1
          a1
          +
          lo
          g
           
          2
          a2
          a2
          +
          lo
          g
           
          2
          a3
          a3
          +…+
          lo
          g
           
          2
          a2n
          a2n
          ≤n

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