Question

求下列函數(shù)的值域：
（1）函數(shù)y=x²+4x-2，x∈R的值域?yàn)?!--BA-->

 

；
（2）函數(shù)y=x-

1-2x

的值域?yàn)?!--BA-->

 

；
（3）已知x∈R，且x≠0，則函數(shù)y=x²+

1

x2

-x-

1

x

的值域?yàn)?!--BA-->

 

；
（4）函數(shù)y=

x+1

x+2

的值域?yàn)?!--BA-->

 

．
（5）函數(shù)y=

2 x -4

x +3

的值域?yàn)?!--BA-->

 

．

Answer 1

分析：（1）配方法：首先把原函數(shù)配方變?yōu)椋▁+2）²-6，則值域可求；
（2）換元法：令t=

1-2x

，則利于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值得到值域；
（3）換元法：令t=x+

1

x

，同（2）類似得到；
（4）分離常數(shù)法：y=

x+1

x+2

=1-

1

x+2

，則值域可求；

（5）分離常數(shù)法：y=

2 x -4

x +3

=2-

10

x +3

則值域可求．

解答：解：（1）配方法：由于y=x²+4x-2=（x+2）²-6，則y≥-6，故其值域?yàn)閇-6，+∞）；
（2）換元法：令t=

1-2x

（t≥0），則y=x-

1-2x

=

1

2

-

1

2

t2-t=-

1

2

(t+1)2+1（t≥0），
故y≤-

1

2

(0+1)2+1=

1

2

，故其值域?yàn)?span id="e72qlyr" class="MathJye">(-∞，

1

2

]；
（3）換元法：令t=x+

1

x

（t≥2），則函數(shù)y=x²+

1

x2

-x-

1

x

=t2-2-t=(t-

1

2

)2-

9

4

，
由于t≥2，則y≥(2-

1

2

)2-

9

4

=0，故其值域?yàn)閇0，+∞）；

（4）分離常數(shù)法：y=

x+1

x+2

=1-

1

x+2

，由于x+2≠0，則y≠1，故其值域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞）；

（5）分離常數(shù)法：y=

2 x -4

x +3

=2-

10

x +3

，
由于

x

+3≥3，∴0＜

10

x +3

≤

10

3

，則-

10

3

≤-

10

x +3

＜0，即-

4

3

≤2-

10

x +3

＜2，故其值域?yàn)?span id="7nzinsp" class="MathJye">[-

4

3

，2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)值域的求法，考查了配方法，換元法，分離常數(shù)法等，考生要重點(diǎn)掌握．