Question

求下列函數(shù)的值域：
（1）y=

x2

x2+1

；                  
 （2）y=2x+

x+1

．

Answer 1

分析：（1）由于函數(shù)y=1-

1

x2+1

，且0＜

1

x2+1

≤1，故有 0≤1-

1

x2+1

＜1，由此求得函數(shù)的值域．
（2）由于函數(shù)y=2x+

x+1

 在它的定義域{x|x≥-1}內(nèi)是增函數(shù)，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最小值等于-2，
當(dāng)X趨于+∞時(shí)，y趨于+∞，從而得到函數(shù)的值域．

解答：解：（1）由于 y=

x2

x2+1

=

x2+1-1

x2+1

=1-

1

x2+1

，
∵0＜

1

x2+1

≤1，∴0≤1-

1

x2+1

＜1，故函數(shù)y=

x2

x2+1

的值域?yàn)閇0，1）．

（2）由于函數(shù)y=2x+

x+1

 的定義域?yàn)閧x|x≥-1}，且函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，
故當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)有最小值等于-2，當(dāng)X趨于+∞時(shí)，y趨于+∞，
故函數(shù)的值域?yàn)閇-2，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用常數(shù)分離法求函數(shù)的值域，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于中檔題．