Question

【題目】已知橢圓（）經過與兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）過原點的直線與橢圓交于兩點，橢圓上一點滿足，求證： 為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意將點的坐標代入橢圓方程即可求得橢圓的方程為；

(2)利用（1）中求得的橢圓方程結合題意分類討論可證得為定值2.

試題解析：

（1）將 與（，）兩點代入橢圓C的方程，

得解得． ∴橢圓PM2的方程為．

（2）由|MA|=|MB|，知M在線段AB的垂直平分線上，由橢圓的對稱性知A、B關于原點對稱．

①若點A、B是橢圓的短軸頂點，則點M是橢圓的一個長軸頂點，此時

=．

同理，若點A、B是橢圓的長軸頂點，則點M在橢圓的一個短軸頂點，此時

=．

②若點A、B、M不是橢圓的頂點，設直線l的方程為y=kx（k≠0），

則直線OM的方程為，設A（x1，y1），B（x2，y2），

由解得，，

∴=，同理，

所以=2×+=2，

故=2為定值．