Question

某水產(chǎn)養(yǎng)殖場擬造一個無蓋的長方體水產(chǎn)養(yǎng)殖網(wǎng)箱，，為避免混養(yǎng)，箱中要安裝一些篩網(wǎng)，其平面圖如下．如果網(wǎng)箱四周網(wǎng)衣（圖中實(shí)線部分）建造單價為每米長56元，篩網(wǎng)（圖中虛線部分）的建造價為每米長48元，網(wǎng)箱底面面積為160平方米，建造單價為每平方米50元．網(wǎng)衣及篩網(wǎng)的厚度不計．
（1）把建造網(wǎng)箱的總造價y（元）表示為網(wǎng)箱的長x（米）的函數(shù)，并求出最低造價；
（2）若要求網(wǎng)箱的長不超過15米，寬不超過12米，則當(dāng)網(wǎng)箱的長和寬各為多少米時，可使總造價最低？（結(jié)果精確到0.01米）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可知網(wǎng)箱的寬為

160

x

（米），然后根據(jù)題意建立建造網(wǎng)箱的總造價y（元）表示為網(wǎng)箱的長x（米）的函數(shù)，最后根據(jù)基本不等式求出函數(shù)的最值即可；
（2）根據(jù)題意求出x的范圍，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知網(wǎng)箱的寬為

160

x

（米），x＞0
y=（2x+

320

x

）×56+（x+3×

160

x

）×48+160×50
=160x+256×

160

x

+8000≥13120
當(dāng)且僅當(dāng)x=16時取等號
∴當(dāng)x=16時，最小值為13120．
（2）∵網(wǎng)箱的長不超過15米，寬不超過12米，
∴

40

3

≤x≤15
y=160x+256×

160

x

+8000在

40

3

≤x≤15上單調(diào)遞減
∴當(dāng)長為15米，寬為10.67米時造價最低

點(diǎn)評：本題主要考查利用基本不等式求函數(shù)的最值，一定注意使用的條件：一正；二定；三相等，以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值．