Question

已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線l：y=

3

(x+1)與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為1，且|AB|=2．
（1）求點(diǎn)M坐標(biāo)；
（2）求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）確定直線與x、y軸的交點(diǎn)，即為A，B兩點(diǎn)，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得橢圓方程．

解答：解：（1）設(shè)直線與x、y軸的交點(diǎn)分別為C，D，其坐標(biāo)為C（-1，0）、D（0，

3

）
由于M是AB的中點(diǎn)，則M在直線上，且其到原點(diǎn)的距離為1，以原點(diǎn)為中心做半徑為1的圓與直線相交于兩點(diǎn)，C（-1，0），E（-

1

2

，

3

2

），則E點(diǎn)即是M點(diǎn)（C點(diǎn)不滿足）
∴M（-

1

2

，

3

2

）；
（2）又由于AB長度為2，所以MA，MB長度為1，且MX，MY長度分別為1，所以A、B分別于C、D重合
設(shè)橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），則a=1，b=

3

∴橢圓方程為x²+

y2

3

=1．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．