Question

已知等比數(shù)列{b_n}與數(shù)列{a_n}滿足bn=3an，n∈N*
（1）判斷{a_n}是何種數(shù)列，并給出證明；
（2）若a₈+a₁₃=m，求b₁b₂…b₂₀．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得bn=3an=3a1×qn-1，兩邊取以3為底的對數(shù)，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，從而得到數(shù)列{a_n}是以log₃q為公差的等差數(shù)列．
（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得到a₁+a₂₀=a₈+a₁₃=m，從而得到數(shù)列{a_n}的前20項(xiàng)的和為10（a₁+a₂₀）=10m，再由bn=3an，得到b₁b₂…b₂₀的值．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
∵bn=3an，n∈N*
∴3an=3a1×qn-1，可得a_n=a₁+（n-1）log₃q
∴a_n+1=a₁+nlog₃q，a_n+1-a_n=log₃q（常數(shù)），
∴數(shù)列{a_n}是以log₃q為公差的等差數(shù)列．
（2）∵a₈+a₁₃=m，
∴由等差數(shù)列性質(zhì)得a₁+a₂₀=a₈+a₁₃=m
∴數(shù)列{a_n}的前20項(xiàng)的和為：a1+a2+…+a20=

(a1+a20)×20

2

 =10m
∴b1b2…b20=3a1+a2+…+a20=310m

點(diǎn)評：本題以指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算為載體，考查了等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差數(shù)列與等比數(shù)列間的關(guān)系等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．