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        1. 精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

          已知中心在原點的橢圓C:的一個焦點為為橢圓C上一點,的面積為

          (1)求橢圓C的方程;

          (2)是否存在平行于OM的直線,使得直線與橢圓C相交于A,B兩點,且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.

           

          【答案】

          (1)    (2) 直線存在,且所求的直線的方程為

          【解析】

          試題分析:(1)因為橢圓C的一個焦點為,

          所以,則橢圓C的方程為,

          因為,所以,解得

          故點M的坐標為(1,4).

          因為M(1,4)在橢圓上,所以,得,

          解得(不合題意,舍去),則

          所以橢圓C的方程為

          (2)假設存在符合題意的直線與橢圓C相交于,兩點,其方程為(因為直線OM的斜率,

          消去,化簡得

          進而得到,

          因為直線與橢圓C相交于A,B兩點,

          所以,

          化簡,得,解得

          因為以線段AB為直徑的圓恰好經過原點,

          所以,所以

          ,

          ,

          解得.由于,所以符合題意的直線存在,且所求的直線的方程為

          考點:直線與圓錐曲線的關系;橢圓的標準方程.

          點評:本題考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關系,考查韋達定理的運用,確定橢圓方程,正確運用韋達定理是關鍵.

           

          練習冊系列答案
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          已知中心在原點的橢圓的一個焦點為(0,
          2
          ),且過點A(1,
          2
          )
          ,過A作傾斜角互補的兩條直線,它們與橢圓的另一個交點分別為點B和點C.
          (1)求橢圓的標準方程;
          (2)求證:直線BC的斜率為定值,并求這個定值.
          (3)求三角形ABC的面積最大值.

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          已知中心在原點的橢圓C的一個焦點F(4,0),長軸端點到較近焦點的距離為1,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)為橢圓上不同的兩點.
          (1)求橢圓的方程;
          (2)若x1+x2=8,在x軸上是否存在一點D,使|
          DA
          |=|
          DB
          |若存在,求出D點的坐標;若不存在,說明理由.

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          (2013•廣東)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0),離心率等于
          1
          2
          ,則C的方程是( 。

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知中心在原點的橢圓C:
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1的焦點為F1(0,3),M(x,4)(x>0)橢圓C上一點,△MOF1的面積為
          3
          2

          (1)求橢圓C的方程.
          (2)是否存在平行于OM的直線l,使得直線l與橢圓C相較于A,B兩點,且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點?若存在,求出直線l的方程,請說明理由..

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          科目:高中數學 來源: 題型:

          已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(
          15
          ,0),直線y=x與橢圓的一個交點的橫坐標為2,則橢圓方程為( 。
          A、
          x2
          16
          +y2=1
          B、x2+
          y2
          16
          =1
          C、
          x2
          20
          +
          y2
          5
          =1
          D、
          x2
          5
          +
          y2
          20
          =1

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