Question

已知拋物線y=ax²-1上存在關于直線l:x+y=0成軸對稱的兩點，試求實數a的取值范圍.

Answer 1

解法一：設拋物線上關于直線l對稱的兩相異點為P(x₁，y₁)、Q(x₂,y₂),線段PQ的中點為M(x₀,y₀),設直線PQ的方程為y=x+b,由于P、Q兩點存在，所以方程組有兩組不同的實數解，即得方程ax²-x-(1+b)=0.            ①

    判別式Δ=1+4a(1+b)＞0.                       ②

    由①得x₀==,y₀=x₀+b=+b.

    ∵M∈l,∴0=x₀+y₀=++b,即b=-,代入②解得a＞.

解法二：設同解法一，由題意得

   

    將①②代入③④，并注意到a≠0,x₁-x₂≠0,

    得

    由二元均值不等式易得

    2(x₁²+x₂²)＞(x₁+x₂)²(x₁≠x₂).

    將⑤⑥代入上式得

    2(-+)＞()²,解得a＞.

解法三：同解法二，由①-②，得

    y₁-y₂=a(x₁+x₂)(x₁-x₂).

    ∵x₁-x₂≠0,

    ∴a(x₁+x₂)==1.

    ∴x₀==.

    ∵M(x₀,y₀)∈l,

    ∴y₀+x₀=0,即y₀=-x₀=-,從而PQ的中點M的坐標為（,-）.

    ∵M在拋物線內部，

    ∴a()²-(-)-1＜0.

    解得a＞.(舍去a＜0，為什么?).