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        1. 把邊長為4的正方形鐵片的四個角各截去一個邊長為x的小正方形,再將四邊沿邊線向上折起,做成一個無蓋的方底鐵盒.
          (1)把鐵盒容積V表示為x的函數(shù)V(x),并指出其定義域;
          (2)確定V(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (3)若要求鐵盒的高度x與底面正方形邊長的比值不超過常數(shù)a,問x取何值時,鐵盒容積有最大值.
          分析:(1)先求出鐵盒的底面邊長,從而求出底面面積,容積為底面積乘以高即可求得函數(shù)V(x),使得邊長大于0可求出定義域;
          (2)先求V′(x),然后令V′(x)=0,求出極值點,根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號可確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
          (3)根據(jù)鐵盒的高度x與底面正方形邊長的比值不超過常數(shù)a,求出函數(shù)的定義域,然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)的最值.
          解答:解:(1)鐵盒的底面邊長為4-2x,高為x,則V(x)=x(4-2x)2
          x>0
          4-2x>0
          得函數(shù)定義域是{x|0<x<2}.
          (2)V(x)=4(x3-4x2+4x),
          V′(x)=4(3x2-8x+4)=4(3x-2)(x-2),
          令V′(x)=0得x=
          2
          3
          或x=2(舍去)
          0<x<
          2
          3
          時,V′(x)>0;
          2
          3
          <x<2
          時,V′(x)<0.
          故V'(x)在區(qū)間(0,
          2
          3
          ]
          上是增函數(shù),在區(qū)間[
          2
          3
          ,2)
          上是減函數(shù); 
          (3)由題意,
          x
          4-2x
          ≤a
          ,且a>0解得V(x)的定義域是{x|0<x≤
          4a
          1+2a
          }
          ,其中a>0,
          4a
          1+2a
          4a
          2a
          =2
          ,
          由(2)知當
          4a
          1+2a
          2
          3
          ,即0<a≤
          1
          4
          時,V(x)在(0,
          4a
          1+2a
          ]
          上是增函數(shù),
          x=
          4a
          1+2a
          時,V(x)有最大值,
          4a
          1+2a
          2
          3
          ,即a>
          1
          4
          時,V(x)在(0,
          2
          3
          ]
          上增函數(shù),在[
          2
          3
          ,
          4a
          1+2a
          ]
          上是減函數(shù).
          x=
          2
          3
          時,V(x)有最大值.
          點評:本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.解決實際問題通常有四個步驟:(1)閱讀理解,認真審題;(2)引進數(shù)學(xué)符號,建立數(shù)學(xué)模型;(3)利用數(shù)學(xué)的方法,得到數(shù)學(xué)結(jié)果;(4)轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答,其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型.屬于中檔題.
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