Question

如圖，在△ABC中，AB=2，BC=

2

，∠ABC=

3π

4

．以點(diǎn)B為圓心，線(xiàn)段BC的長(zhǎng)為半徑的半圓分別交AB所在直線(xiàn)于點(diǎn)E、F，交線(xiàn)段AC于點(diǎn)D，求弧

CD

的長(zhǎng)．（精確到0.01）

Answer 1

分析：方法一：用余弦定理與正弦定理依次求出線(xiàn)段AC的長(zhǎng)與角ACB的大小，進(jìn)而在三角形DBC中求弧

CD

的所對(duì)的圓心角的大小，用弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)．
方法二：建立坐標(biāo)系，求出線(xiàn)段BD與線(xiàn)段BC所對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)，然后用向量的夾角公式算出角DBC的大小，再用弧長(zhǎng)公式求出弧長(zhǎng)．

解答：解：
解法一：連接BD，在△ABC中，由余弦定理得
AC²=AB²+BC²-2•AB•BC•cos∠ABC=4+2-4

2

•(-

2

2

)=10
所以AC=

10

．
再由正弦定理得

AC

sin∠ABC

=

AB

sin∠ACB

?sin∠ACB=

2• 2 2

10

=

5

5

在△DBC中，因?yàn)锽D=BC，故∠DBC=π-2arcsin

5

5

，
所以

CD

=(π-2arcsin

5

5

)•

2

≈3.13．
解法二：如圖，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線(xiàn)為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
由條件可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，1），
故直線(xiàn)AC的方程為y=

1

3

(x+2)，
和圓方程x²+y²=2聯(lián)立得

x2+y2=2 y= 1 3 (x+2)

可解得x=-

7

5

和x=1，即得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-

7

5

，

1

5

)．
于是，得

BD

=(-

7

5

，

1

5

)，

BC

=(1，1)，故向量

BC

和

BD

的夾角∠DBC的余弦值為cos∠DBC=

BC • BD

| BC |•| BD |

=-

3

5

，即∠DBC=π-arccos

3

5

所以，

CD

=(π-arccos

3

5

)•

2

≈3.13．

點(diǎn)評(píng)：本題兩種方法，方法一靈活運(yùn)用解三角形的相關(guān)公式求出弧所對(duì)的圓心角的大小，些方法運(yùn)算量較小，但方法的設(shè)計(jì)作輔助線(xiàn)等的思維量較大．方法二建立坐標(biāo)系，求出了兩個(gè)半徑所在線(xiàn)段對(duì)應(yīng)的向量，方法好想，但轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)后運(yùn)算量較大．請(qǐng)答題者做完本題后，對(duì)比兩種方法解題的特點(diǎn)．本題中的數(shù)據(jù)需用把三角數(shù)表示，現(xiàn)在的教材已將把三角函數(shù)刪除，這是本題設(shè)計(jì)上的不足之處．