【題目】已知
，
.
（1）若
恒成立.求
的最大值
；
（2）若
，�。�1）中的，當(dāng)
時，證明：
.
【答案】（1）
（2）證明見解析；
【解析】
（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性可知
為偶函數(shù)，根據(jù)
時，
恒成立可將問題轉(zhuǎn)化為
時，
，恒成立，求
；利用導(dǎo)數(shù)，分別在
和
兩種情況下得到函數(shù)單調(diào)性，進而確定
的范圍，從而得到最大值；
（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)
，
，根據(jù)余弦函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性可分別求得不等號左右兩側(cè)函數(shù)的最大值和最小值，由此可證得不等式成立，從而得到結(jié)論.
（1）
，
為偶函數(shù)，
當(dāng)時，恒成立，
故題意可為：，，若恒成立，求的最大值.
，
，
①若，則
恒成立，
在
單調(diào)遞增，
又
，有
，，故在單調(diào)遞增，
又
，有恒成立，此時的最大值
.
②若，則存在最小的正數(shù)
，使
成立，此時
，
當(dāng)
時，
，在
單調(diào)遞減，
又，有
，，故在單調(diào)遞減，
又，有
，，故，不恒成立，
即無最大值.
綜合①②可知，滿足題意的最大值.
（2）由（1）知，
，證明：
，
即證：
，，
，，
由
，
恒成立，有
，
即證：
，，
，，（*）
當(dāng)時，
的最大值為
，
當(dāng)時，
的最小值為
，
故（*）式恒成立，即證得恒成立.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知關(guān)于x的不等式m－|x－2|≥1，其解集為[0，4]．
(1)求m的值；
(2)若a，b均為正實數(shù)，且滿足a＋b＝m，求a2＋b2的最小值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某工廠為生產(chǎn)一種精密管件研發(fā)了一臺生產(chǎn)該精密管件的車床，該精密管件有內(nèi)外兩個口徑，監(jiān)管部門規(guī)定“口徑誤差”的計算方式為：管件內(nèi)外兩個口徑實際長分別為
，標準長分別為
則“口徑誤差”為
只要“口徑誤差”不超過
就認為合格，已知這臺車床分晝夜兩個獨立批次生產(chǎn)．工廠質(zhì)檢部在兩個批次生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機抽取40件作為樣本，經(jīng)檢測其中晝批次的40個樣本中有4個不合格品，夜批次的40個樣本中有10個不合格品．
（Ⅰ）以上述樣本的頻率作為概率，在晝夜兩個批次中分別抽取2件產(chǎn)品，求其中恰有1件不合格產(chǎn)品的概率；
（Ⅱ）若每批次各生產(chǎn)1000件，已知每件產(chǎn)品的成本為5元，每件合格品的利潤為10元；若對產(chǎn)品檢驗，則每件產(chǎn)品的檢驗費用為2.5元；若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對用戶賠償，這時生產(chǎn)的每件不合格品工廠要損失25元．以上述樣本的頻率作為概率，以總利潤的期望值為決策依據(jù)，分析是否要對每個批次的所有產(chǎn)品作檢測？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
以拋物線
的焦點為頂點，且離心率為
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）若直線
與橢圓相交于
、
兩點，與直線
相交于
點，
是橢圓上一點且滿足
（其中
為坐標原點），試問在
軸上是否存在一點
，使得
為定值？若存在，求出點的坐標及的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，已知三棱錐P－ABC中，PA平面ABC，ABAC，且PA＝l，AB＝AC＝2，點D滿足
，
.
（1）當(dāng)
，求二面角P－BD－C的余弦值；
（2）若直線PC與平面PBD所成角的正弦值為
，求
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】為了提高生產(chǎn)線的運行效率，工廠對生產(chǎn)線的設(shè)備進行了技術(shù)改造.為了對比技術(shù)改造后的效果，采集了生產(chǎn)線的技術(shù)改造前后各
次連續(xù)正常運行的時間長度（單位：天）數(shù)據(jù)，并繪制了如莖葉圖：
（1）①設(shè)所采集的
個連續(xù)正常運行時間的中位數(shù)
，并將連續(xù)正常運行時間超過和不超過的次數(shù)填入下面的列聯(lián)表：
超過 | 不超過 | |
改造前 |
|
|
改造后 |
|
|
②根據(jù)①中的列聯(lián)表，能否有
的把握認為生產(chǎn)線技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運行時間有差異？
附：
.
|
|
|
|
|
|
|
|
（2）工廠的生產(chǎn)線的運行需要進行維護，工廠對生產(chǎn)線的生產(chǎn)維護費用包括正常維護費、保障維護費兩種.對生產(chǎn)線設(shè)定維護周期為
天（即從開工運行到第
天
進行維護.生產(chǎn)線在一個生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個維護周期，每個維護周期相互獨立.在一個維護周期內(nèi)，若生產(chǎn)線能連續(xù)運行，則不會產(chǎn)生保障維護費；若生產(chǎn)線不能連續(xù)運行，則產(chǎn)生保障維護費.經(jīng)測算，正常維護費為
萬元/次；保障維護費第一次為
萬元/周期，此后每增加一次則保障維護費增加萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)線一個生產(chǎn)周期（以
天計）內(nèi)的維護方案：
，
、
、
、
.以生產(chǎn)線在技術(shù)改造后一個維護周期內(nèi)能連續(xù)正常運行的頻率作為概率，求一個生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)維護費的分布列及期望值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，其中
.
（Ⅰ）當(dāng)
時，判斷函數(shù)
的零點個數(shù)；
（Ⅱ）若對任意
，
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在日常生活中，石子是我們經(jīng)常見到的材料，比如在各種建筑工地或者建材市場上常常能看到堆積如山的石子，它的主要成分是碳酸鈣.某雕刻師計劃在底面邊長為2m、高為4m的正四棱柱形的石料
中，雕出一個四棱錐
和球M的組合體，其中O為正四棱柱的中心，當(dāng)球的半徑r取最大值時，該雕刻師需去除的石料約重___________kg.（最后結(jié)果保留整數(shù)，其中
，石料的密度
，質(zhì)量
）
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