Question

已知函數 ，
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷并證明f（x）的奇偶性；
（Ⅲ）在（0，1）內，求使關系式成立的實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據分式函數分母不能為零和對數函數真數大于零求解；
（Ⅱ）由（1）知定義域關于原點對稱，再分析f（-x）與f（x）的關系；
（Ⅲ）先證明f（x）在（0，1）內單調遞減，即在給定的區(qū)間上任取兩個變量，且界定其大小，再作差變形，再與零進行比較，關鍵是變形到位用上條件．最后利用單調性將原不等式轉化為整式不等式求解即可．
解答：解：（Ⅰ）函數f（x）有意義，需
解得-1＜x＜1且x≠0，
∴函數定義域為x|-1＜x＜0或0＜x＜1；
（Ⅱ）函數f（x）為奇函數，
∵f（-x）==，
又由（1）已知f（x）的定義域關于原點對稱，
∴f（x）為奇函數；
（Ⅲ）設0＜x₁＜x₂＜1，∵，
又x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0，∴①
又，∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，x₁-x₂＜0，
∴；
∴．②
由①②，得，
∴f（x）在（0，1）內為減函數；
又，∴使成立x的范圍是．
點評：本題主要考查函數的基本性質，涉及到定義域的求法，要注意分式函數，根式函數和基本函數的定義域；還考查了奇偶性的判斷，要注意定義域．