Question

若二項(xiàng)式(x

x

-

1

x

)6的展開(kāi)式中第5項(xiàng)的值是5，則x=

 

，此時(shí)

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

 

．

Answer 1

分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得第r+1項(xiàng)，令r=4得第五項(xiàng)，列方程解得x．
利用等比數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)極限值．

解答：解：(x

x

-

1

x

)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tr+1=

C

r 6

(x

x

)6-r(-

1

x

)r=(-1)r

C

r 6

x

18-5r

2

令r=4得T₅=C₆⁴x^-1=15x^-1
∴15x^-1=5
∴x=3
∴

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=

lim

n→∞

1

2

(1-

1

3n

)=

1

2

故答案為3，

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)；等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．