Question

已知復(fù)數(shù)z是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+mx+25=0的一個根，同時復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式|z|+z=8+4i．
（1）求|z|的值及復(fù)數(shù)z；
（2）求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）直接設(shè)出復(fù)數(shù)z，利用復(fù)數(shù)相等對應(yīng)實(shí)部和實(shí)部相等，虛部和虛部相等解方程即可求出|z|的值及復(fù)數(shù)z；
（2）因為方程兩根之積為25，所以

.

z

也是原方程的一根，再結(jié)合（1）的結(jié)論和一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)m的值．

解答：解：（1）設(shè)z=a+bi，

a2+b2

+a+bi=8+4i
則

a2+b2 +a=8 b=4

得

a=3 b=4

所以：z=3+4i，|z|=5
（2）因為方程兩根之積為25，所以

.

z

也是原方程的一根，且

.

z

=3-4i
所以z+

.

z

═-m
故：m=-6．

點(diǎn)評：本題第一問中涉及到復(fù)數(shù)相等．復(fù)數(shù)相等的對應(yīng)結(jié)論是實(shí)部和實(shí)部相等，虛部和虛部相等．