Question

已知函數(shù)f（x）=x²-（2a+1）x+alnx
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間；
（2）當a＞

1

2

時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）先求出導函數(shù)，根據(jù)x=1時f（x）取得極值求出a=2；再令導函數(shù)大于0求出增區(qū)間，導函數(shù)小于0求出減區(qū)間即可；
（2）先求出導函數(shù)f'（x），然后討論a研究函數(shù)在[1，e]上的單調性，將f（x）的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x²-3x+lnx，
令f′(x)=

2x2-3x+1

x

＞0，解得x＞1或x＜

1

2

．
則函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為(0，

1

2

)，(1，+∞)
（2）f（x）=x²-（2a+1）x+alnx，
令f′(x)=2x-(2a+1)+

a

x

=

2x2-(2a+1)x+a

x

=

(2x-1)(x-a)

x

=0
①當

1

2

＜a≤1，x∈[1，e]，f'（x）＞0，f（x）單調增．f（x）_min=g（1）=-2a．
②當1＜a＜e，x∈（1，a），f'（x）＜0，f（x）單調減．，x∈（a，e），f'（x）＞0，f（x）單調增．f(x)min=f(a)=-a2-a+alna
③當a≥e，x∈[1，e]，f'（x）＜0，f（x）單調減，f(x)min=f(e)=e2-(2a+1)e+a
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值f(x)min=

-2a， 1 2 ＜a≤1 -a2-a+alna，1＜a＜e e2-(2a+1)e+a，a≥e

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于中檔題．