Question

已知點(diǎn)P為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(

OP

+

OF2

)•

F2P

=0且△PF₁F₂的面積為2ac（c為雙曲線半焦距）則雙曲線的離心率為

1+

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，可得|

OP

|=

1

2

|

F1F2

|，得△PF₁F₂是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形．由雙曲線的定義結(jié)合勾股定理，算出S_△PF1F2=c²-a²=2ac，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，解之即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：∵

F2P

=

OP

-

OF2

∴(

OP

+

OF2

)•(

OP

-

OF2

)=

OP

2-

OF2

2=0
可得|

OP

|=|

OF2

|=

1

2

|

F1F2

|，所以△PF₁F₂是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形
∵|

PF1

|-|

PF2

|=±2a
∴（|

PF1

|-|

PF2

|）²=|

PF1

|²-2|

PF1

|•|

PF2

|+|

PF2

|²=4a²
∵|

PF1

|²+|

PF2

|²=4c²，|

PF1

|•|

PF2

|=2S_△PF1F2，
∴4c²-4S_△PF1F2=4a²，得S_△PF1F2=c²-a²
∵由題意△PF₁F₂的面積為2ac，
∴c²-a²=2ac，兩邊都除以a²，得

c2

a2

-1=2•

c

a

整理，得e²-2e-1=0，解之得e=1±

2

（舍負(fù)）
故答案為：1+

2

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的焦點(diǎn)三角是直角三角形，求該雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、雙曲線的離心率定義及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．