Question

【題目】如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點，點F在PC上，且．

（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；

（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；

（Ⅲ）設(shè)點G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)見解析；

(Ⅱ) ；

(Ⅲ)見解析.

【解析】

(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；

(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合兩個半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；

(Ⅲ)首先求得點G的坐標(biāo)，然后結(jié)合平面的法向量和直線AG的方向向量可判斷直線是否在平面內(nèi).

(Ⅰ)由于PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，則PA⊥CD，

由題意可知AD⊥CD，且PA∩AD=A，

由線面垂直的判定定理可得CD⊥平面PAD.

(Ⅱ)以點A為坐標(biāo)原點，平面ABCD內(nèi)與AD垂直的直線為x軸，AD,AP方向為y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

易知：，

由可得點F的坐標(biāo)為，

由可得，

設(shè)平面AEF的法向量為：，則

，

據(jù)此可得平面AEF的一個法向量為：，

很明顯平面AEP的一個法向量為，

，

二面角F-AE-P的平面角為銳角，故二面角F-AE-P的余弦值為.

(Ⅲ)易知，由可得，

則，

注意到平面AEF的一個法向量為：，

其且點A在平面AEF內(nèi)，故直線AG在平面AEF內(nèi).