Question

已知正四棱錐S-ABCD，E是SB的中點(diǎn)，若SA=

2

AB，則異面直線(xiàn)AE與SD所成的角等于（　�。�

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

分析：設(shè)AB=1，則SA=

2

，設(shè)AC和 BD交與點(diǎn)O，∠AEO或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)AE與SD所成的角．求出EO，AO的值，余弦定理求得cos∠ASB，由余弦定理可得 AE² 的值，可得△AEO為等腰直角三角形，故∠AEO=

π

4

．

解答：解：正四棱錐S-ABCD，E是SB的中點(diǎn)，若SA=

2

AB，設(shè)AB=1，則SA=

2

．
設(shè)AC和 BD交與點(diǎn)O，則EO是三角形SBD的中位線(xiàn)，∠AEO或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)AE與SD所成的角．
EO=

1

2

SD=

2

2

，AO=

1

2

AC=

2

2

．
△SAB中，由余弦定理可得 1=2+2-2•

2

•

2

cos∠ASB，∴cos∠ASB=

3

4

． 
△SAE中，由余弦定理可得 AE²=2+

2

2

-2•2•

2

2

cos∠ASB=1，∴AE²=AO²+EO²，
故△AEO為等腰直角三角形，故∠AEO=

π

4

，故異面直線(xiàn)AE與SD所成的角等于

π

4

，故選 B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查異面直線(xiàn)所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，判斷“，∠AEO或其補(bǔ)角即為異面直線(xiàn)AE與SD所成的角”，是解題的關(guān)鍵．