Question

已知銳角△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且（a²+b²-c²）tanC=

3

ab．
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=

3

，求2a-b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出關(guān)系式，結(jié)合已知等式，得到sinC的值，由三角形ABC為銳角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出角C的度數(shù)；
（Ⅱ）利用正弦定理化簡2a-b得到關(guān)系式，用A表示出B代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由三角形ABC為銳角三角形，得到A的范圍，確定出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出2a-b的范圍即可．

解答：解：（Ⅰ）由余弦定理可得a²+b²-c²=2abcosC，
結(jié)合（a²+b²-c²）tanC=

3

ab，可得2cosCtanC=2sinC=

3

，即sinC=

3

2

，
∵△ABC為銳角三角形，∴C=

π

3

；
（Ⅱ）由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，
∴2a-b=4sinA-2sinB，
∵B=

2π

3

-A，
∴2a-b=4sinA-2sin（

2π

3

-A）=3sinA-

3

cosA=2

3

sin（A-

π

6

），
∵△ABC為銳角三角形，
∴A∈（

π

6

，

π

2

），即A-

π

6

∈（0，

π

3

），
則2a-b的取值范圍為（0，3）．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，正弦函數(shù)的定義域與值域，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．