Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）直線l₁過點(diǎn)P（2，0），被圓C截得的弦長(zhǎng)為4

2

，求直線l₁的方程；
（2）直線l₂的斜率為1，且l₂被圓C截得弦AB，若以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線l₂的方程．

Answer 1

分析：（1）確定圓心坐標(biāo)與半徑，分類討論，利用直線l₁圓C截得的弦長(zhǎng)為4

2

，即可求直線l₁的方程；
（2）設(shè)直線l₂的方程為y=x+b，代入圓C的方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，即可求直線l₂的方程

解答：解：圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，圓心為（1，-2），半徑為3，
（1）因直線l₁過點(diǎn)P（2，0），
①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線l₁：x=2，圓心到直線的距離為1
∴直線l₁被圓C截得的弦長(zhǎng)為2

9-1

=4

2

，
∴直線l₁：x=2滿足題意；
②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)l₁方程為y=k（x-2），即kx-y-2k=0
由直線l₁被圓C截得的弦長(zhǎng)為4

2

，則圓心C到l₁的距離為

9-(2 2 )2

=1
∴

|k+2-2k|

1+k2

=1，∴k=

3

4

∴l(xiāng)₁方程為y=

3

4

（x-2），即3x-4y-6=0；
由上可知l₁方程為：x=2或3x-4y-6=0 …（8分）
（2）設(shè)直線l₂的方程為y=x+b，代入圓C的方程，整理可得2x²+（2b+2）x+b²+4b-4=0（*）
∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)O，∴OA⊥OB．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，…（10分）
∴2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0
由（*）式得x₁+x₂=-b-1，x₁x₂=

b2+4b-4

2

∴b²+4b-4+b（-b-1）+b²=0，即b²+3b-4=0，
∴b=-4或b=1…（14分）
將b=-4或b=1代入（*）方程，對(duì)應(yīng)的△＞0．
故直線l₂：x-y-4=0或x-y+1=0． …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．