Question

【題目】已知點(diǎn)G（5，4），圓C1：（x﹣1）2+（y﹣4）2=25，過(guò)點(diǎn)G的動(dòng)直線l與圓C1 ， 相交于兩點(diǎn)E、F，線段EF的中點(diǎn)為C． （Ⅰ）求點(diǎn)C的軌跡C2的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線l1：kx﹣y﹣k=0，與C2相交于兩點(diǎn)P、Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，l1與l2：x+2y+2=0的交點(diǎn)為N，求證：|AM||AN|為定值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：圓C1：（x﹣1）2+（y﹣4）2=25的圓心C1（1，4），半徑為5，

設(shè)C（x，y），由圓的性質(zhì)及勾股定理，

得（x﹣1）2+（y﹣4）2+（x﹣5）2+（y﹣4）2=（5﹣1）2+（4﹣4）2，

化簡(jiǎn)并整理，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，∴點(diǎn)C的軌跡C2的方程為：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4．

（Ⅱ）證明：∵過(guò)點(diǎn)A（1，0）的直線l1與C2相交于P、Q兩點(diǎn)．

結(jié)合C2的方程（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，知k≠0，

解方程組 ，得 ，

有直線C2M與l1垂直，∴C2M的方程為 ，

解 得， ，

則 ， ，

∴ 為定值

【解析】（Ⅰ）設(shè)C（x，y），由圓的性質(zhì)及勾股定理，得（x﹣1）2+（y﹣4）2+（x﹣5）2+（y﹣4）2=（5﹣1）2+（4﹣4）2，即可求點(diǎn)C的軌跡C2的方程；（Ⅱ）分別聯(lián)立相應(yīng)方程，求得M，N的坐標(biāo)，再求：|AM||AN|為定值．