Question

如圖，在長(zhǎng)方體，中，，點(diǎn)在棱AB上移動(dòng).

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；
（Ⅲ）等于何值時(shí)，二面角的大小為

Answer 1

（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）二面角的大小為.

解析試題分析：（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積為零證明即可；（Ⅱ）求出平面的法向量解答；（Ⅲ）設(shè)平面的法向量，利用空間向量解答即可.
試題解析：

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則    2分
（1）      4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d1/f/1r9pv3.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，則，從而，  5分
，設(shè)平面的法向量為，則也即，
得  6分
從而，   7分
所以點(diǎn)到平面的距離為    8分
（3）設(shè)平面的法向量，∴
由 令，∴
依題意
∴（不合，舍去）， 
.∴時(shí)，二面角的大小為.           12分
考點(diǎn)：線面、面面的垂直關(guān)系、二面角的求法、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用.