Question

已知函數(shù)y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)(

11

6

π，1)，如果圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

3

π

倍，然后向左平移1個(gè)單位可得y=f（x）的圖象，又知f（x）=3的所有正根依次為一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，求f（x）的解析式、最小正周期、單調(diào)減區(qū)間，并畫出f（x）的草圖．

Answer 1

分析：先利用輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得，y=asinx+bcosx+c=

a2+b2

sin(x+?)+c，由(

11

6

π，1)是圖象上的最低點(diǎn)可得取得最值的條件x=

11π

6

及最小值為1即

11 6 π+?=2kπ- π 2 - a2+b2 +c=1

，從而可求函數(shù)解析式再由f（x）=3的所有正根依次為一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，可得曲線y=f（x）與直線y=3的相鄰交點(diǎn)間的距離都相等，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即過f（x）的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，要么過曲線的拐點(diǎn)（平衡位置點(diǎn)），且由于(

11

6

π，1)是圖象上的最低點(diǎn)，結(jié)合已知可求答案．

解答：解：y=asinx+bcosx+c=

a2+b2

sin(x+?)+c，
其中φ滿足tan?=

b

a

，φ與（a，b）同象限，
由于(

11

6

π，1)是圖象上的最低點(diǎn)，所以

11 6 π+?=2kπ- π 2 - a2+b2 +c=1

，
即

?=2kπ- 7π 3 a2+b2 =c-1

．所以y=(c-1)sin(x+2kπ-

7

3

π)+c=(c-1)sin(x-

π

3

)+c，
將上述圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

3

π

倍，
得y=(c-1)sin(

π

3

x-

π

3

)+c
然后向左平移1個(gè)單位可得y=(c-1)sin(

π

3

(x+1)-

π

3

)+cy=(c-1)sin

π

3

x+c，
所以f(x)=(c-1)sin

π

3

x+c，T=

2π

π 3

=6．
由于f（x）=3的所有正根依次為一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，
即曲線y=f（x）與直線y=3的相鄰交點(diǎn)間的距離都相等，
根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直線y=3要么與曲線y=f（x）相切，
即過f（x）的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，要么過曲線的拐點(diǎn)（平衡位置點(diǎn)），注意到(

11

6

π，1)是圖象上的最低點(diǎn)，
故：當(dāng)y=3與曲線y=f（x）在最高點(diǎn)相切時(shí)，即sin

π

3

x=1，f（x）=2c-1=3，
所以c=2，此時(shí)周期應(yīng)為公差3，這將與上面已知周期為6矛盾．故舍去
當(dāng)y=3過曲線y=f（x）拐點(diǎn)（平衡位置點(diǎn)）時(shí)，即sin

π

3

x=0，f（x）=c=3，
此時(shí)周期為6恰為公差3的2倍，符合題意．
所以f(x)=2sin

π

3

x+3，由2kπ+

π

2

≤

π

3

x≤2kπ+

3

2

π，k∈z，
得6k+

3

2

≤x≤6k+

9

2

，k∈z，y=f（x）單調(diào)減區(qū)間[6k+

3

2

，6k+

9

2

](k∈z)，草圖為：

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了輔助角公式的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象變換，三角函數(shù)與數(shù)列的綜合，直線與曲線的關(guān)系等知識(shí)的綜合運(yùn)用，屬于綜合試題，要求考生具備一定的推理論證的能力．