Question

已知兩點(diǎn)及，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上，且、、構(gòu)成等差數(shù)列．

（1）求橢圓的方程；

（2）如圖7，動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的兩點(diǎn)，且，． 求四邊形面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為．(2)以四邊形的面積的最大值為。

【解析】

試題分析：（1）依題意，設(shè)橢圓的方程為．

構(gòu)成等差數(shù)列，

， ．

又，．

橢圓的方程為．  4分 

(2) 將直線的方程代入橢圓的方程中，得．              5分

由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知，，

化簡(jiǎn)得：．                        7分

設(shè)，，    9分

（法一）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線的傾斜角為，

則，

，       

， 11分

，當(dāng)時(shí)，，，．

當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形，．   13分

所以四邊形面積的最大值為．    14分

（法二），

．

．

四邊形的面積， 11分 

．   13分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故．

所以四邊形的面積的最大值為．     14分

考點(diǎn)：本題主要考查等差數(shù)列，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，面積計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：中檔題，曲線關(guān)系問(wèn)題，往往通過(guò)聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。解題過(guò)程中，運(yùn)用等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)求得了a,b,c的關(guān)系。