Question

已知橢圓

x2

2

+

y2

4

=1兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿(mǎn)足

PF1

•

PF2

=1，過(guò)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線AB的斜率；
（3）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，則可分別表示出

PF1

和

PF2

進(jìn)而利用

PF1

•

PF2

=1求得x₀和y₀的關(guān)系，同時(shí)根據(jù)2x₀²+y₀²=4求得x₀和y₀即P的坐標(biāo)．
（2）設(shè)出AP的方程，與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)x_P=1，表示出x_A和y_A，同理表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AB的斜率．
（3）設(shè)出AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而求得x₁-x₂，最后利用弦長(zhǎng)公式求得AB的長(zhǎng)．利用三角形面積公式求得答案．

解答：解：（1）F1(0，

2

)，F2(0，-

2

)，設(shè)P（x₀，y₀）
則

PF1

=(-x0，

2

-y0)，

PF2

=(-x0，-

2

-y0)

PF1

•

PF2

=1?x02-2+y02=1?x02+y02=3
又2x₀²+y₀²=4，x₀，y₀＞0，∴

x0=1 y0= 2

，即所求P(1，

2

)
（2）設(shè)l_AP：y-

2

=k(x-1)聯(lián)立

y- 2 =k(x-1) 2x2+y2=4

得：(2+k2)x2-2k(k-2)x+k2-2

2

k-2=0
∵x_P=1，∴xA=

k2-2 2 k-2

2+k2

，yA=kxA-k+

2

=

- 2 k2-4k+2 2

2+k2

則A(

k2-2 2 k-2

2+k2

，

- 2 k2-4k+2 2

2+k2

)
同理B(

k2+2 2 k-2

2+k2

，

- 2 k2+4k+2 2

2+k2

)，
∴kAB=

8k 2+k2

4 2 k 2+k2

=

2

（3）設(shè)l_AB：y=

2

x+m，聯(lián)立

y= 2 x+m 2x2+y2=4

，
得：4x2+2

2

mx+m2-4=0，∴

x1+x2=- 2 m 2 x1•x2= m2-4 4

∴|AB|=

3

|x1-x2|=

3

(x1+x2)2-4x1•x2

=

3

4- 1 2 m2

而h=

| 2 - 2 +m|

3

=

|m|

3

∴S=

1

2

|AB|•h=

1

2

3

4- 1 2 m2

•

|m|

3

=

2

4

m2(8-m2)

≤

2

4

•

m2+(8-m2)

2

=

2

當(dāng)且僅當(dāng)m=±2時(shí)等號(hào)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．