Question

【題目】已知雙曲線，經(jīng)過點的直線與該雙曲線交于兩點.

（1）若與軸垂直，且，求的值；

（2）若，且的橫坐標(biāo)之和為，證明：.

（3）設(shè)直線與軸交于點，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析；（3）證明見解析；

【解析】

（1）把代入雙曲線方程求得坐標(biāo)，由可求得；

（2）設(shè)，設(shè)直線方程為，代入雙曲線方程應(yīng)用韋達定理得，由可求得，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運算計算出可得結(jié)論；

（3）設(shè)方程為，且，由可用表示出，代入雙曲線方程得，同理.故是方程的兩根.由韋達定理可得結(jié)論．

（1），，，

∴.

（2），設(shè)，顯然直線斜率存在，設(shè)方程為，并與聯(lián)立得，由得，此時.

.

（3）有題意可知直線斜率必存在，設(shè)方程為，且.由得，所以，，又由于點在雙曲線上，故化簡得，同理.故是方程的兩根.則為定值.