Question

【題目】已知一種動物患有某種疾病的概率為0.1，需要通過化驗血液來確定是否患該種疾病，化驗結果呈陽性則患病，呈陰性則沒有患病，多只該種動物檢測時，可逐個化驗，也可將若干只動物的血樣混在一起化驗，僅當至少有一只動物的血呈陽性時混合血樣呈陽性，若混合血樣呈陽性，則該組血樣需要再逐個化驗．
（1）求2只該種動物的混合血樣呈陽性的概率；
（2）現(xiàn)有4只該種動物的血樣需要化驗，有以下三種方案
方案一：逐個化驗；
方案二：平均分成兩組化驗；
方案三：混合在一起化驗．
請問：哪一種方案更適合（即化驗次數(shù)的期望值更小）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設ξ為2只該種動物中血液呈陽性的只數(shù)，則ξ～B（2，0.1），

這2只動物中只要有一只血樣呈陽性，它們的混合血樣呈陽性，

所求概率為p（ξ≥1）=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣0.1）2=0.19．

∴2只該種動物的混合血樣呈陽性的概率為0.19

（2）方案一：4只動物都得化驗，所需化驗次數(shù)為4次；

方案二：設所需化驗次數(shù)為X，則X的所有可能取值為2，4，6，

P（X=2）=0.81×0.81=0.6561，

P（X=4）=2×0.81×0.19=0.3076，

P（X=6）=0.19×0.19=0.0361，

∴EX=2×0.6561+4×0.3078+6×0.0361=2.76；

方案三：設所需化驗次數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為1，5，

由于4只動物的混合血樣呈陰性的概率為0.94=0.6561，

∴P（Y=1）=0.6561，

P（Y=5）=1﹣0.6561，

∴EY=1×0.6561+5×0.3439=2.3756．

∵2.3756＜2.76＜4，

∴4只動物混合在一起化驗更合適

【解析】（1）設ξ為2只該種動物中血液呈陽性的只數(shù)，則ξ～B（2，0.1），由此能求出2只該種動物的混合血樣呈陽性的概率．（2）分別求出三種方案的化驗次數(shù)的期望值，由此能得到4只動物混合在一起化驗更合適．