Question

已知函數(shù)f（x）=

3

ωx+cos（ωx+

π

3

）+cos（ωx-

π

3

），x∈R，（其中ω＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的最小正周期為

π

2

，則當x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）首先求函數(shù)的表達式f(x)=

3

sinωx+cosωx=2sin(ωx+

π

6

)求值域，需要把三角函數(shù)化為一般形式，然后根據(jù)最大最小值直接求得值域．
（2）由函數(shù)f（x）的最小正周期以及上面解得的一般形式，可直接求出即ω=4，則函數(shù)的完整表達式求出來了，在根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：解：（1）f(x)=

3

sinωx+cosωx=2sin(ωx+

π

6

)，
∵x∈R，∴f（x）的值域為[-2，2]，
所以答案為[-2，2]．
（2）∵f（x）的最小正周期為

π

2

，∴

2π

ω

=

π

2

，即ω=4
∴f(x)=2sin(4x+

π

6

)∵x∈[0，

π

2

]，∴4x+

π

6

∈[

π

6

，

13

6

π]
∵f（x）遞減，∴4x+

π

6

∈[

π

2

，

3π

2

]
由

π

2

≤4x+

π

6

≤

3π

2

，得到

π

12

≤x≤

π

3

，
∴f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為[

π

12

，

π

3

]．
所以答案為[

π

12

，

π

3

]．

點評：此題主要考查三角函數(shù)周期值域問題的應(yīng)用，其中涉及到求三角函數(shù)一般形式的求法．在學習中三角函數(shù)性質(zhì)的記憶與理解是非常重要的，需要注意．