Question

如圖所示，在△ABC中，D、F分別是BC、AC的中點，=，=，=．
（1）用、表示向量、、、、；
（2）求證：B、E、F三點共線．

Answer 1

解：（1）如圖所示：解延長AD到G，使=，
連接BG、CG，得到四邊形ABGC，
∵D是BC和AG的中點，
∴四邊形ABGC是平行四邊形，則=+=，
∴==（），==（）．
∵F是AC的中點，∴==，
∴=-=（）-=（）．
=-=-=（）．
（2）證明：由（1）可知，=（），=（）．
∴=，即、是共線向量，所以B、E、F三點共線．
分析：（1）由題意作出輔助線構成平行四邊形ABGC，由四邊形法則和D是AG的中點求出，由題意求出，由F是AC的中點求出，再由向量減法的三角形法則求出和；
（2）由（1）求出=，故兩個向量共線，即B、E、F三點共線．
點評：本題考查了向量的線性運算和共線向量的等價條件，主要運用了向量的數乘運算，向量加法的四邊形和向量減法的三角形法則．