Question

【題目】如圖所示的幾何體中，和均為以為直角頂點的等腰直角三角形，，，，，為的中點.

（1）求證：；

（2）求二面角的大��；

（3）設為線段上的動點，使得平面平面，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意，得出，，根據(jù)線面垂直的判定定理得出平面，則，建立以為原點，，，為，，軸的空間直角坐標系，利用向量法能證明；

（2）求出平面的法向量和平面的一個法向量，利用向量法能求出二面角的大��；

（3）設，，，求出，，，令，則，解得為的中點，利用向量法能求出線段的長．

解：依題意得，和均為以為直角頂點的等腰直角三角形，

則，，

所以面，

又，可以建立以為原點，

分別以，，的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標系（如圖），

可得，，，，，，，

（1）證明：由題意，，，

因為，所以.

（2）解：，，

設為平面的法向量，則

，即，

不妨令，可得，

平面的一個法向量，

因此有，

由圖可得二面角為銳二面角，

所以二面角的大小為.

（3）解：（方法一）設，，

所以，因此，

令，即，

解得，即為的中點，

因為平面，平面，，

所以當為的中點時，平面平面，

此時即，

，

所以線段的長為.

（方法二）設，，

所以，因此，

設為平面的法向量，

則，即，

不妨令，可得，

因為平面平面，所以，

解得：，

此時即，，

所以線段的長為.