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        1. 已知函數(shù)f(x)=
          13
          x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R)
          ,
          (1)若x=1為f(x)的極值點(diǎn),求a的值;
          (2)若y=f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為x+y-3=0,求f(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值;
          (3)當(dāng)a≠0時(shí),若f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調(diào),求a的取值范圍.
          分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再根據(jù)x=1是f(x)的極值點(diǎn)得到:“f′(1)=0”,從而求得a值;
          (2)先根據(jù)切線(xiàn)方程為x+y-3=0利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a值,再研究閉區(qū)間上的最值問(wèn)題,先求出函數(shù)的極值,比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小,最后確定出最大值與最小值.
          (3)由題意得:函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào),所以函數(shù)f′(x)在(-1,1)上存在零點(diǎn).再利用函數(shù)的零點(diǎn)的存在性定理得:f′(-1)f′(1)<0.由此不等式即可求得a的取值范圍.
          解答:解:(1)f′(x)=x2-2ax+a2-1
          ∵x=1是f(x)的極值點(diǎn),
          ∴f′(1)=0,即a2-2a=0,解得a=0或2;(3分)
          (2)∵(1,f(1))在x+y-3=0上.∴f(1)=2
          ∵(1,2)在y=f(x)上,∴2=
          1
          3
          -a+a2-1+b
          又f′(1)=-1,
          ∴1-2a+a2-1=-1∴a2-2a+1=0,
          解得a=1,b=
          8
          3
          f(x)=
          1
          3
          x2-x2+
          8
          3
          ,f′(x)=x2-2x

          由f′(x)=0可知x=0和x=2是極值點(diǎn).
          f(0)=
          8
          3
          ,f(2)=
          4
          3
          ,f(-2)=-4,f(4)=8

          ∴f(x)在區(qū)間[-2,4]上的最大值為8.(8分)
          (3)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)不單調(diào),
          所以函數(shù)f′(x)在(-1,1)上存在零點(diǎn).
          而f′(x)=0的兩根為a-1,a+1,區(qū)間長(zhǎng)為2,
          ∴在區(qū)間(-1,1)上不可能有2個(gè)零點(diǎn).
          所以f′(-1)f′(1)<0,∵a2>0,
          ∴(a+2)(a-2)<0,-2<a<2.
          又∵a≠0,∴a∈(-2,0)∪(0,2).(12分)
          點(diǎn)評(píng):本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、函數(shù)的最值及其幾何意義、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (1)、已知函數(shù)f(x)=
          1+
          2
          cos(2x-
          π
          4
          )
          sin(x+
          π
          2
          )
          .若角α在第一象限且cosα=
          3
          5
          ,求f(α)

          (2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
          3
          sinxcosx
          的圖象按向量
          m
          =(
          π
          6
          ,-1)
          平移后,得到一個(gè)函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=(1-
          a
          x
          )ex
          ,若同時(shí)滿(mǎn)足條件:
          ①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個(gè)極大值點(diǎn);
          ②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
          則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+lnx
          x

          (1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
          1
          2
          )
          上存在極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
          (2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)≥
          k
          x+1
          恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知函數(shù)f(x)=
          1+
          1
          x
          ,(x>1)
          x2+1,(-1≤x≤1)
          2x+3,(x<-1)

          (1)求f(
          1
          2
          -1
          )
          與f(f(1))的值;
          (2)若f(a)=
          3
          2
          ,求a的值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿(mǎn)足:對(duì)任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱(chēng)f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱(chēng)為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
          1-m•2x1+m•2x

          (1)m=1時(shí),求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請(qǐng)說(shuō)明理由;
          (2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案