Question

【題目】如圖，A、B、C為⊙O上三點(diǎn)，B為 的中點(diǎn)，P為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PQ與⊙O相切于點(diǎn)Q，BQ與AC相交于點(diǎn)D．
（Ⅰ）證明：△DPQ為等腰三角形；
（Ⅱ）若PC=1，AD=PD，求BDQD的值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接CQ，BC，AB，
因?yàn)镻Q是圓O的切線，所以∠PQC=∠CBD，
因?yàn)锽為 的中點(diǎn)，所以∠CQB=∠ACB，
所以∠PQC+∠CQB=∠CBD+∠ACB，
即∠PQD=∠CDQ，
故△DPQ為等腰三角形．
（Ⅱ）解：設(shè)CD=t，則PD=PQ=1+t，PA=2+2t，
由PQ2=PCPA得t=1，
所以CD=1，AD=PD=2，
所以BDQD=CDAD=2．

【解析】（Ⅰ）連接CQ，BC，AB，證明∠PQD=∠CDQ，即可證明PD=PQ；（Ⅱ）利用切割線定理，求出CD=1，AD=PD=2，即可求BDQD．