Question

【題目】設(shè)為等差數(shù)列，為公差，且和均為實(shí)數(shù)，，它的前項(xiàng)和記作.設(shè)集合，.

下列結(jié)論是否正確？如果正確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)舉一個(gè)例子說明.

（1）以集合中的元素為坐標(biāo)的點(diǎn)都在同一直線上；

（2）至少有一個(gè)元素；

（3）時(shí)，一定有.

Answer 1

【答案】（1）正確（2）正確（3）不正確

【解析】

（1）正確.證明如下：

∵，∴.

這說明適合方程.因此，對(duì)于，以為坐標(biāo)的點(diǎn)在直線上.

（2）正確.證明如下：

設(shè)，由（1）知，是方程組

的解.①代入②并整理，得

.

當(dāng)時(shí)，上述方程無解，從而.

當(dāng)時(shí)，.

從而，上述方程組恰有一個(gè)解.

于是，至多有一個(gè)元素.

（3）不正確.舉例如下：

取，，此時(shí)若有，則存在，由（2）有.另一方面，對(duì)一切，，所以.這與矛盾.因此，，時(shí)，.