Question

已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面相切，若這個球的體積是

32π

3

，則這個三棱柱的體積是（　　）

• A、96

  3

• B、16

  3

• C、24

  3

• D、48

  3

Answer 1

分析：由球的體積可以求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個側(cè)面相切，得球的半徑和棱柱底面正△邊長的關(guān)系，求出邊長，即求出底面正△的面積；得出棱柱的體積．

解答：解：由球的體積公式，得

4

3

πR³=

32π

3

，
∴R=2．
∴正三棱柱的高h=2R=4．
設(shè)正三棱柱的底面邊長為a，則其內(nèi)切圓的半徑為：

1

3

•

3

2

a=2，
∴a=4

3

．
∴該正三棱柱的體積為：V=S_底•h=

1

2

•a•a•sin60°•h=

3

4

•（4

3

）²•4=48

3

．
故答案為：D

點評：本題考查了球的體積，柱體體積公式的應(yīng)用；本題的解題關(guān)鍵是求底面邊長，這是通過正△的內(nèi)切圓與邊長的關(guān)系得出的．