Question

如圖，設(shè)橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F₂作傾斜角為的直線l，交橢圓于M、N兩點(diǎn)，已知橢圓的左焦點(diǎn)為F₁，到直線l的距離為,M、N兩點(diǎn)到橢圓的右準(zhǔn)線的距離之和為,求這個(gè)橢圓的方程.

Answer 1

解析：設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0)，直線l與y軸相交于A點(diǎn)，連結(jié)F₁A.

由已知可得△F₁AF₂為等腰直角三角形，且|F₁A|=,

∴|F₁F₂|=2.∴c=1,F₂(1,0).

∴直線l的方程為y=x-1.

設(shè)M(x₁,y₁)、N（x₂，y₂），由已知

(-x₁)+(-x₂)=x₁+x₂=-=2a²-.

從而y₁+y₂=(x₁-1)+(x₂-1)=x₁+x₂-2=2a²-.

∵M(jìn)、N在橢圓上，∴=1,=1,兩式相減，得=0 b²(x₁+x₂)+a²(y₁+y₂)·=0.

∴b²(2a²-)+a²(2a²-)=0,

即（a²-1）(2a²-)+a²(2a²-)=0.

∴a²=或a²=2(a²=舍去).

∴b²=a²-1=1.∴橢圓方程為=1.