【題目】如圖,矩形ABCD所在的平面與平面AEB垂直,且∠ BAE=120°,AE=AB=4,AD=2,F,G,H分別為BE,AE,BC的中點.
(1)求證:直線DE與平面FGH平行;
(2)若點P在直線GF上,且二面角D-BP-A的大小為,試確定點P的位置.
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
取AD中點M,易得M在平面FHG。另一方面,MG∥DE。故直線DE與平面FGH平行
以A為坐標(biāo)原點。建立合適的坐標(biāo)系,設(shè)=λ
=(0,2λ,0),求出平面PBD的一個法向量n1=(5-2λ,
,2
)。又平面ABP的一個法向量為n2=(0,0,1),又cos<n1,n2>=
,即可得出λ的值。進而可求出P點坐標(biāo)。
(1)證明取AD的中點M,連接MH,MG.
∵G,H分別是AE,BC的中點,
∴MH∥AB,GF∥AB,∴M∈平面FGH.
又MG∥DE,且DE平面FGH,MG平面FGH,
∴DE∥平面FGH.
(2)如下圖
在平面ABE內(nèi),過A作AB的垂線,記為AP,則AP⊥平面ABCD.
以A為原點,AP,AB,AD所在的直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系A-xyz.
所以A(0,0,0),B(0,4,0),D(0,0,2),E(2,-2,0),G(
,-1,0),F(
,1,0).
則=(0,2,0),
=(0,-4,2),
=(
,-5,0).
設(shè)=λ
=(0,2λ,0),
則=(
,2λ-5,0).
設(shè)平面PBD的法向量為n1=(x,y,z),
則
取y=,得z=2
,x=5-2λ,
故n1=(5-2λ,,2
).
又平面ABP的法向量為n2=(0,0,1),
因此cos<n1,n2>=,解得λ=1或λ=4.
故=4
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【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+lnx.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng)x>1時, x2+lnx<
x3.
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【題目】設(shè)f(x)=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值為m.
(1)求m;
(2)若a,b,c∈(0,+∞),a2+2b2+c2=m,求ab+bc的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=1﹣ax+lnx,(x>0),函數(shù)g(x)滿足g(x)=x﹣1,(x∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1時存在極值,求a的值;
(2)在(1)的條件下,當(dāng)x>1時,blnx< ,求實數(shù)b的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù),
.
(1)若函數(shù)是奇函數(shù),求實數(shù)
的值;
(2)在在(1)的條件下,判斷函數(shù)與函數(shù)
的圖像公共點個數(shù),并說明理由;
(3)當(dāng)時,函數(shù)
的圖象始終在函數(shù)
的圖象上方,求實數(shù)
的取值范圍.
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【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.點D,E,N分別為棱PA,PC,BC的中點,M是線段AD的中點,PA=AC=4,AB=2.
(Ⅰ)求證:MN∥平面BDE;
(Ⅱ)求二面角C﹣EM﹣N的正弦值;
(Ⅲ)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為 ,求線段AH的長.
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【題目】已知向量=(1,-3,2),
=(-2,1,1),點A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).
(1)求|2+
|;
(2)在直線AB上,是否存在一點E,使得⊥
?(O為原點)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= cos(2x﹣
)﹣2sinxcosx.(13分)
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)求證:當(dāng)x∈[﹣ ,
]時,f(x)≥﹣
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知空間中三點A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=,b=
.
(1)求向量a與向量b的夾角的余弦值;
(2)若ka+b與ka-2b互相垂直,求實數(shù)k的值
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