Question

【題目】如圖，在直四棱柱中，底面是平行四邊形， 點(diǎn)，分別在棱，上，且，.

（1）求證：平面；

（2）若，，，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）1.

【解析】

（1）連接，交于，取的中點(diǎn)，連接，，先證明平行四邊形，所以，最后得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意，以為原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出平面的法向量，利用夾角公式求出即可．

解：（1）連接，交于，取的中點(diǎn)，連接，，

由，，

故，以且，

故平行四邊形，所以，

根據(jù)中位線定理，，

由平面，平面，

所以平面，，

故平面；

（2），，

由，

由，得，

以為原點(diǎn)，以，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

，0，，，，，，，，，0，，

，，，，，，，0，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，

由，令，得，0，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，

由，令，得，

由，

所以二面角為，正弦值為1．