Question

（2013•四川）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P(

4

3

，

1

3

)．
（I）求橢圓C的離心率：
（II）設(shè)過點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且

2

|AQ|2

=

1

|AM|2

+

1

|AN|2

，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

分析：（I）由題設(shè)條件結(jié)合橢圓的性質(zhì)直接求出a，c的值，即可得到橢圓的離心率；
（II）由題設(shè)過點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，可設(shè)出直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由于兩曲線交于兩點(diǎn)，故判斷式大于0且可利用根與系數(shù)的關(guān)系建立M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)與直線的斜率k的等量關(guān)系，然后再設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)M，N的坐標(biāo)表示出

2

|AQ|2

=

1

|AM|2

+

1

|AN|2

，再綜合計(jì)算即可求得點(diǎn)Q的軌跡方程．

解答：解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)P(

4

3

，

1

3

)．
∴c=1，2a=PF₁+PF₂=

( 4 3 +1)2+ 1 9

+

( 4 3 -1)2+ 1 9

=2

2

，即a=

2

∴橢圓的離心率e=

c

a

=

1

2

=

2

2

…4分
（II）由（I）知，橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，y）
（1）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與橢圓C交于（0，1）、（0，-1）兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2-

3 5

5

）
（2）當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)其方程為y=kx+2，
因?yàn)镸，N在直線l上，可設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為（x₁，kx₁+2），（x₂，kx₂+2），則
|AM|2=(1+k2)x1 2，|AN|2=(1+k2)x2 2，又|AQ|²=（1+k²）x²，

2

|AQ|2

=

1

|AM|2

+

1

|AN|2

∴

2

(1+k2)x2

=

1

(1+k2)x1 2

+

1

(1+k2)x2 2

，即

2

x2

=

1

x1 2

+

1

x2 2

=

(x1+x2)2-2x1x2

x1 2x2 2

…①
將y=kx+2代入

x2

2

+y2=1中，得（2k²+1）x²+8kx+6=0…②
由△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，得k²＞

3

2

由②知x₁+x₂=-

8k

2k2+1

，x₁x₂=

6

2k2+1

，代入①中化簡得x²=

18

10k2-3

…③
因?yàn)辄c(diǎn)Q在直線y=kx+2上，所以k=

y-2

x

，代入③中并化簡得10（y-2）²-3x²=18
由③及k²＞

3

2

可知0＜x²＜

3

2

，即x∈（-

6

2

，0）∪（0，

6

2

）
由題意，Q（x，y）在橢圓C內(nèi)，所以-1≤y≤1，
又由10（y-2）²-3x²=18得（y-2）²∈[

9

5

，

9

4

）且-1≤y≤1，則y∈（

1

2

，2-

3 5

5

）
所以，點(diǎn)Q的軌跡方程為10（y-2）²-3x²=18，其中x∈（-

6

2

，

6

2

），y∈（

1

2

，2-

3 5

5

）…13分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線、橢圓、曲線與方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、分類與整合等數(shù)學(xué)思想，并考查思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．本題是圓錐曲線中的常見題型，所考查的解題方式較為典型，本題運(yùn)算量較大易因?yàn)檫\(yùn)算失誤造成丟分．