Question

已知a，b為正實數(shù)．
（1）若函數(shù)，求f（x）的單調區(qū)間
（2）若e＜a＜b（e為自然對數(shù)的底），求證：a^b＞b^a；（3）求滿足a^b=b^a（a≠b）的所有正整數(shù)a，b的值．

Answer 1

解：（1）∵，則，
當0＜x＜e時，f′（x）＞0；當x＞e時，f′（x）＜0．
∴當x∈（0，e）時，f（x）為增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數(shù)．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：，∴blna＞alnb，即lna^b＞lnb^a，∴a^b＞b^a；
（3）由a^b=b^a得：．
∵當x∈（0，e）時，f（x）為增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數(shù)，∴…，
發(fā)現(xiàn)，
∴a=4，b=2或a=2，b=4．
分析：（1）先求函數(shù)的導函數(shù)，再解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0即可得函數(shù)的單調區(qū)間
（2）利用（1）的結論，若e＜a＜b，則f（a）＞f（b），即，即lna^b＞lnb^a，再由函數(shù)y=lnx的單調性即可得證
（3）利用（1）的結論當x∈（0，e）時，f（x）為增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，f（x）為減函數(shù)，若a^b=b^a（a≠b），則a、b一定分布在e的兩邊，通過列舉求值可得正整數(shù)a，b的值
點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的方法，并利用單調性證明不等式，解題時要認真觀察，發(fā)現(xiàn)函數(shù)性質與已知的聯(lián)系，巧妙而準確的解決問題