Question

【題目】如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點E是PD的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥PB；
（Ⅱ）求證：PB∥平面AEC．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，
AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，
∴AC⊥AB，AC⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AC⊥平面PAB，
∵PB平面PAB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）證明：連接BD，與AC相交于O，連接EO，
∵ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點，又E是PD的中點，
∴EO∥PB，
又PB不包含于平面AEC，EO平面AEC，
∴PB∥平面AEC．

【解析】（Ⅰ）由已知得AC⊥AB，AC⊥PA，從而AC⊥平面PAB，由此能證明AC⊥PB．
（Ⅱ）連接BD，與AC相交于O，連接EO，由已知得EO∥PB，由此能證明PB∥平面AEC．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面平行的判定的相關(guān)知識點，需要掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．