Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=3ax2﹣2（a+c）x+c（a＞0，a，c∈R）

（1）設(shè)a＞c＞0，若f（x）＞c2﹣2c+a對(duì)x∈[1，+∞]恒成立，求c的取值范圍；

（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)？為什么？

Answer 1

【答案】（1）0＜c＜1, （2）有，一個(gè)或兩個(gè)，理由見解析

【解析】

（1）由題意可得：二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，由條件可得：，所以，進(jìn)而得到在區(qū)間[1，+∞）是增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可得到答案．

（2）二次函數(shù)的對(duì)稱軸是，討論，，而

，根據(jù)根的存在性定理即可得到答案．

(1 )因?yàn)槎�次函�?shù)的圖象的對(duì)稱軸，

因?yàn)橛蓷l件，得，

所以，

所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸在區(qū)間的左邊，且拋物線的開口向上，

所以在區(qū)間是增函數(shù).

所以，

因?yàn)?/span>，對(duì)恒成立,

所以，

所以；

(2)①若，

則或，此時(shí)二次函數(shù))在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)；

②若，

則.

因?yàn)槎�次函�?shù)圖象的對(duì)稱軸是，

因?yàn)?/span>，

而，

所以函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)分別存有一零點(diǎn)，

故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn).

③若，，

所以在區(qū)間內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)；

④若，

則,，，

所以在區(qū)間 內(nèi)有零點(diǎn).