Question

【題目】設(shè)函數(shù)，函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．

（1）若，都有成立（其中），求的值；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，；

（3）設(shè)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）求導(dǎo)，利用對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求即可即可

（2）證明等價(jià)證明，構(gòu)造函數(shù)求最值即可證明

（3）討論，恒成立，轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)求最值，證明當(dāng)時(shí)不成立，當(dāng)時(shí)，利用（2）放縮證明h(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)即可求解，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，證明不成立即可求解

（1），則

因?yàn)?/span>，即恒成立（其中），

則，，即，且

（2）當(dāng)時(shí)，要證即證，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，

則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，也即，

所以當(dāng)時(shí)，

（3）當(dāng)，本題無(wú)意義，顯然不成立，

所以不合題意，

當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，

由題設(shè)，此時(shí)有，

當(dāng)時(shí)，若，則有，此時(shí)不成立，

即不成立，所以不合題意，

當(dāng)時(shí)，令，

則等價(jià)于，即當(dāng)且僅當(dāng)，

，

又由（1）得，即，代入上式得：

，

①當(dāng)時(shí)，由（2）知，即，

則

，此時(shí)函數(shù)h(x)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，

則，即恒成立，此時(shí)符合題意，

②當(dāng)時(shí)，令，則，

又，則，即函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

即，也即，

則

當(dāng)時(shí)，有，即函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以，即，所以不合題意，

綜上可得，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為