Question

設函數(shù)f（x）=（x+a）lnx-x+a．
（Ⅰ）設g（x）=f'（x），求g（x）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a≥

1

e

，試研究函數(shù)f（x）=（x+a）lnx-x+a的零點個數(shù)．

Answer 1

分析：（I）首先，g（x）的定義域是（0，+∞），再根據(jù)求導法則得g（x）=f'（x）=

a

x

+lnx，分別討論當a≤0時和當a＞0時g（x）零點的兩種不同情況，得到g（x）的單調(diào)區(qū)間的兩種情形；
（II）由題（Ⅰ）知，g（x）在x=a時取到最小值，求出g（a）的值，由a≥

1

e

可以證得g（a）≥0，從而f'（x）≥0．得到f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，再由根的存在性定理可以證得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上存在零點，結(jié)合單調(diào)性可得函數(shù)的零點個數(shù)為1．

解答：解：（Ⅰ）g（x）的定義域是（0，+∞）∵g（x）=f'（x）=

a

x

+lnx，
∴g'（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，…（2分）
（1）當a≤0時，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
故g（x）單調(diào)區(qū)間是（0，+∞）…（4分）
（2）當a＞0時，g'（x）＞0，∴g（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，
再由g'（x）＜0得g（x）在（0，a）上單調(diào)遞減．
g（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，a）與（a，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由題（Ⅰ）知，g（x）在x=a時取到最小值，且為g（a）=

a

a

+lna=1+lna．…（9分）
∵a≥

1

e

，∴l(xiāng)na≥-1，∴g（a）≥0．
∴f'（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，…（11分）
∵f（e）=（e+a）lne-e+a=2a＞0，f(

1

e

)=(

1

e

+a)ln

1

e

-

1

e

+a=-

2

e

＜0，，
∴f(x)在(

1

e

，e)內(nèi)有零點．…（13分）
故函數(shù)f（x）=（x+a）lnx-x+a的零點個數(shù)為1．…（14分）

點評：本題考查了函數(shù)導數(shù)的應用，屬于中檔題．同時還考查了導數(shù)、函數(shù)與不等式的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化、化歸思想的應用．