Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn)P（x₀，0）．證明-

a2-b2

a

＜x0＜

a2-b2

a

．

Answer 1

分析：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x₁≠x₂．又交點(diǎn)為P（x₀，0），故|PA|=|PB|．把點(diǎn)P坐標(biāo)代入，同時(shí)把A、B代入橢圓方程，最后聯(lián)立方程即可得到x₀關(guān)于x₁和x₂的關(guān)系式，最后根據(jù)x₁和x₂的范圍確定x₀的范圍．

解答：證明：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）和（x₂，y₂）．因線段AB的垂直平分線與x軸相交，故AB不平行于y軸，即x₁≠x₂．又交點(diǎn)為P（x₀，0），故|PA|=|PB|，即
（x₁-x₀）²+y₁²=（x₂-x₀）²+y₂²①
∵A、B在橢圓上，
∴

y

2 1

=b2-

b2

a2

x

2 1

，

y

2 2

=b2-

b2

a2

x

2 2

．
將上式代入①，得
2（x₂-x₁）x₀=(

x

2 2

-

x

2 1

)

a2-b2

a2

②
∵x₁≠x₂，可得x0=

x1+x2

2

•

a2-b2

a2

．③
∵-a≤x₁≤a，-a≤x₂≤a，且x₁≠x₂，
∴-2a＜x₁+x₂＜2a，
∴-

a2-b2

a

＜x0＜

a2-b2

a

．

點(diǎn)評(píng)：本小題考查橢圓性質(zhì)、直線方程等知識(shí)，以及綜合分析能力．